Un pavage géométrique obéit à une seule règle : les formes recouvrent la surface sans laisser de vide ni se chevaucher. Cette contrainte est plus stricte qu'il n'y paraît, et c'est elle qui donne aux carrelages, aux marqueteries et aux motifs d'inspiration mauresque leur aspect d'évidence. Voyons quelles formes passent le test, comment les assembler, et comment un dessin libre, un oiseau ou un poisson, peut lui aussi s'emboîter.
Pourquoi seules certaines formes s'emboîtent
Autour d'un sommet, les angles des polygones qui se rejoignent doivent totaliser 360°. Le carré (90°) en met quatre, le triangle équilatéral (60°) en met six, l'hexagone régulier (120°) en met trois. Le pentagone régulier, avec son angle de 108°, ne divise pas 360° : il laisse toujours un trou.
Il existe donc trois pavages réguliers, un seul polygone répété :
| Pavage | Tuile rectangulaire minimale | Remarque |
|---|---|---|
| Carrés | a × a | la grille la plus simple |
| Hexagones | 1,732 a × 3 a | voir le nid d'abeille |
| Triangles équilatéraux | a × 1,732 a | quatre triangles par tuile |
Les pavages semi-réguliers
En combinant deux ou trois polygones réguliers, avec la même disposition à chaque sommet, on obtient les huit pavages semi-réguliers, dits archimédiens. Trois sont très utiles en design :
- Octogones et petits carrés : le carrelage octogonal classique, où les carrés comblent les creux entre les octogones.
- Hexagones et triangles : le pavage trihexagonal, qui évoque le motif japonais kagome, la trame du panier tressé.
- Triangles et carrés : deux variantes, l'une en bandes alternées, l'autre en moulinets, plus dynamiques que les grilles sages.
Chaque polygone peut ensuite recevoir sa couleur, son motif intérieur ou sa texture. La grille ne change pas, seul le remplissage varie, et c'est ce qui fait la richesse des carreaux décoratifs.
L'astuce qui transforme un carré en oiseau
Ce qui retient l'attention, ce sont les pavages de figures : des oiseaux, des poissons, des lézards qui s'emboîtent sans laisser de fond. Le néerlandais M. C. Escher en a fait sa spécialité après avoir étudié les mosaïques de l'Alhambra, à Grenade. La méthode, elle, est simple, et vous pouvez l'appliquer avec n'importe quel logiciel de dessin vectoriel :
- Partez d'un carré (ou d'un hexagone régulier).
- Modifiez un côté : creusez une courbe, ajoutez une pointe.
- Recopiez exactement cette modification sur le côté opposé, par simple translation. Ce que le haut perd, le bas le gagne.
- Répétez avec les deux autres côtés. La forme obtenue pave encore le plan, parce que sa surface n'a pas changé : ce qui est enlevé d'un côté est ajouté de l'autre.
- Observez la silhouette et complétez-la : une bosse devient une aile, un creux un bec. Ajoutez les détails à l'intérieur.
Une variante utilise la rotation : on dessine la moitié d'un côté, puis on fait pivoter cette moitié de 180° autour du milieu du côté pour obtenir l'autre moitié. Les silhouettes sont plus organiques, mais la construction demande un peu plus de rigueur.
Ne cherchez pas à imiter les figures d'Escher, vous obtiendriez une copie. Dessinez les vôtres : une feuille, un poisson, un chat géométrique.
Quelques conseils pratiques
- Limitez-vous à deux ou trois modifications. Au-delà, la figure ne se lit plus et l'on voit surtout des formes tordues.
- Alternez les couleurs pour que les figures se détachent. Avec une seule couleur, le pavage se lit comme un entrelacs. Avec deux teintes d'une même gamme, les figures ressortent doucement : #1F3A5F et #E4B363, par exemple.
- Contrôlez les angles. Si une pointe de la figure est trop fine, elle disparaîtra à l'impression.
Pavage ou motif répété ?
Un pavage remplit tout et n'a pas de fond, alors qu'un semis d'éléments sur fond uni laisse respirer le dessin. Les deux ont leur place, mais ils ne se règlent pas de la même façon. Pour le pavage, tout se joue au bord de la tuile : chaque côté doit s'ajuster parfaitement à son opposé. Pour le pas-à-pas détaillé, voyez l'article sur la création d'un pavage ; celui sur le motif cube 3D montre comment un seul pavage de losanges produit une illusion de volume.
Vérifier avant d'imprimer
Passez toujours la tuile dans un test de mosaïque. Le Seamless Checker gratuit affiche la tuile répétée et fait ressortir les joints : sur un pavage, le moindre jeu apparaît comme un trait blanc.
Pour partir d'une base prête, les styles tessellation de Pattern Weaver proposent des assemblages de formes ; vous pouvez aussi décrire en français votre figure, par exemple « oiseaux bleus et dorés qui s'emboîtent », et obtenir une tuile en une vingtaine de secondes. Le studio est en anglais.
Styles de motifs associés